Circuito RLC: risposta armonica

In questo articolo ci occuperemo di analizzare un circuito risonante RLC, la cui funzione di trasferimento contiene dei termini del secondo ordine. Questo accade a causa della presenza contemporanea di un condensatore ed un induttore, che si scambiano continuamente la propria energia, con un effetto che risulta particolarmente marcato in corrispondenza di alcune frequenze.

Anche in questo caso, utilizzeremo una rappresentazione nel dominio di Laplace, al fine di semplificare i calcoli. Utilizzando la regola del partitore di tensione, si ottiene:

V_u=V_i\frac{Z_C}{Z_L+Z_R+Z_C}=

=V_i\frac{\frac{1}{sC}}{sL+R+\frac{1}{sC}}=

Sommando i termini al denominatore e semplificando, si ottiene:

=V_i\frac{\frac{1}{sC}}{\frac{1+RCs+LCs^2}{sC}}=

=V_i\frac{1}{1+RCs+LCs^2}

Ora possiamo calcolare i parametri della funzione di trasferimento: in questo caso è presente solo un termine trinomio al denominatore. Facendo riferimento alla formula che segue,

K\cdot\frac{(1+T_1s)\cdot...(1+\frac{2\zeta_1s}{\rho_{n1}}+\frac{s^2}{\rho_{n1}^2})\cdot...}{s^n\cdot(1+\tau_1s)\cdot...(1+\frac{2\xi_1s}{\omega_{n1}}+\frac{s^2}{\omega_{n1}^2})\cdot...}

il calcolo richiede la soluzione del seguente sistema di equazioni:

\begin{cases} \frac{2\xi_1s}{\omega_{n1}}=RCs \\ \frac{s^2}{\omega_{n1}^2} = LCs^2 \end{cases}

Dove le incognite sono $\omega_{n1}$ e $\xi_1$ . Poiché la seconda equazione contiene una sola incognita, sarà conveniente cominciare da lì.

\frac{s^2}{\omega_{n1}^2} = LCs^2

\frac{1}{\omega_{n1}^2} = LC

\frac{1}{LC} = \omega_{n1}^2

\omega_{n1}= \frac{1}{\sqrt{LC}}

Sostituendo il valore trovato, nella prima equazione, otterremo:

2\xi_1s\sqrt{LC} = RCs

2\xi_1\sqrt{LC} = RC

\xi_1=\frac{RC}{2\sqrt{LC}}

Parametro	Valore
K	1
$\omega_1$	$\frac{1}{\sqrt{LC}}$
$\xi_1$	$\frac{RC}{2\sqrt{LC}}$