Circuito RLC: risposta armonica

Teoria dei controlli

In questo articolo ci occuperemo di analizzare un circuito risonante RLC, la cui funzione di trasferimento contiene dei termini del secondo ordine. Questo accade a causa della presenza contemporanea di un condensatore ed un induttore, che si scambiano continuamente la propria energia, con un effetto che risulta particolarmente marcato in corrispondenza di alcune frequenze.

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Anche in questo caso, utilizzeremo una rappresentazione nel dominio di Laplace, al fine di semplificare i calcoli. Utilizzando la regola del partitore di tensione, si ottiene:

V_u=V_i\frac{Z_C}{Z_L+Z_R+Z_C}=
=V_i\frac{\frac{1}{sC}}{sL+R+\frac{1}{sC}}=

Sommando i termini al denominatore e semplificando, si ottiene:

=V_i\frac{\frac{1}{sC}}{\frac{1+RCs+LCs^2}{sC}}=
=V_i\frac{1}{1+RCs+LCs^2}

Ora possiamo calcolare i parametri della funzione di trasferimento: in questo caso è presente solo un termine trinomio al denominatore. Facendo riferimento alla formula che segue,

K\frac{(1+T_1s)+...(1+\frac{2\zeta_1s}{\rho_{n1}}+\frac{s^2}{\rho_{n1}^2})+...}{s^n(1+\tau_1s)+...(1+\frac{2\xi_1s}{\omega_{n1}}+\frac{s^2}{\omega_{n1}^2})+...}

il calcolo richiede la soluzione del seguente sistema di equazioni:

\begin{cases} \frac{2\xi_1s}{\omega_{n1}}=RCs \\ \frac{s^2}{\omega_{n1}^2} = LCs^2 \end{cases}

Dove le incognite sono \omega_{n1} e \xi_1. Poiché la seconda equazione contiene una sola incognita, sarà conveniente cominciare da lì.

\frac{s^2}{\omega_{n1}^2} = LCs^2
\frac{1}{\omega_{n1}^2} = LC
\frac{1}{LC} = \omega_{n1}^2
\omega_{n1}= \frac{1}{\sqrt{LC}}

Sostituendo il valore trovato, nella prima equazione, otterremo:

2\xi_1s\sqrt{LC} = RCs
2\xi_1\sqrt{LC} = RC
\xi_1=\frac{RC}{2\sqrt{LC}}
 
Parametro Valore
K 1
\omega_1
\frac{1}{\sqrt{LC}}
\xi_1
\frac{RC}{2\sqrt{LC}}